基于黏性比例因子的锥形流量计最优锥角选择

锥形流量计的锥角参数是影响锥形流量计性能的重要参数，锥体前锥角和后锥角均有较大的取值范围，这造成供选择的锥角组合无限多。通过实验和传统的CFD仿真优化锥形流量计锥角工作量大，效率低。研究证明了锥角的变化引起的下游取压位置处的压力波动会导致锥形流量计流出系数的改变。根据流体力学本构方程理论定义了评价黏性应力对压力波动影响的黏性应力比例因子k1和k2，并得到结论：任一锥角组合锥形流量计下游取压位置处黏性比例因子k1和k2越大，锥形流量计的压力信号受到的干扰越大，对应的流出系数重复性和线性度误差越差，在低入口雷诺数状态下这种干扰尤为明显。基于黏性比例因子的具有不同锥角组合锥形流量计的性能预测结论是：β值在0.45～0.75的锥形流量计，前锥角为27.5°±2.5°，后锥角为65°±5°时锥形流量计的流出系数重复性和线性度误差好于其他的锥角组合。实验测试DN100口径，β值分别为0.45，0.5和0.65的9个不同锥角组合的锥形流量计，实验结论证明了基于黏性应力比例因子的锥形流量计锥角组合预测的准确性。

1 引言

差压流量计是工业过程控制过程中最常用的流量仪表。ISO5167中的孔板、喷嘴、标准文丘里管无法满足所有的工况条件，锥形流量计是一个有益的补充。

随着锥形流量计的广泛应用，众多学者研究了不同安装条件锥形流量计所需的上下游直管段的要求。

锥形流量计的锥体由前、后锥台组成，锥形流量计的重要的结构参数包括测量管内径D、等效直径比β值、前锥角θ1和后锥角θ2。研究成果显示，锥形流量计的锥角组合对其流出系数具有较大的影响，所以亟需研究一种选择前后锥角组合的方法。徐英等人针对100mm口径，设计了β值分别为0.5、0.65、0.85，前锥角分别为20°、22.5°、25°，后锥角分别为60°、65°、70°，共27种组合的锥形流量计利用仿真和实验的方法研究得出前锥角22.5°和后锥角60°的锥角组合对应的流量计线性度误差更小；BorkarK等人通过对比前锥角分别为15°和22.5°的Wafer形式锥形流量计的流出系数不确定度，认为15°前锥角的锥形流量计具有更好的性能；谭超等人基于3DCFD流场分析提出长腰锥形流量计的前后锥角均为22.5°的锥角组合具有更小的线性度误差。

锥角的研究成果固然丰富但是依然存在问题：1）理论上锥角组合是无限多，目前研究的前后锥角取值太少，形不成规律性的结论；2）涉及的β值范围较小，没有涵盖0.45～0.75的主流β值范围。锥形流量计国际标准ISO5167-5的草案正在制定，前后锥角组合的选择依然缺少合理的依据和方法。

锥形流量计尾流流场是流动状态极为复杂，湍流强度较大的区域，尾流的压力变化是影响锥形流量计性能参数的主要因素。利用节流件下游流场的规律优化锥形流量计结构的方法更为科学，得到的结论更具规律性和普适性。而利用流场分析优化锥角组合，寻找或者定义相关的优化因子必不可少。本文通过分析引入黏性比例因子k1和k2，以其为优化因子系统的分析得到对应较好性能的锥角组合。寻找一种高效的锥角分析方法有助于锥形流量计国际标准ISO5167-5的制定，一个成型的标准又能继续拓展锥形流量计的应用范围。

2 锥形流量计的原理

2.1 锥形流量计的几何结构

锥形流量计是由测量圆管、锥体组成的差压装置，如图1所示。

图1 锥形流量计的几何轮廓图

锥形流量计体积流量计算公式如式（1）所示：

    （1）

式中：Cd流出系数；D测量管内径，m；Δp差压，Pa；ρ节流件上游处流体的密度，kg/m³；ε被测介质的可膨胀性系数，无量纲；β等效直径比。

    （2）

式中：d锥体的最大横截面直径，m。

Δp=p1－p2

式中：p1锥体上游侧压力，Pa；p2锥体下游侧压力，Pa。

2.2 网格和CFD仿真参数设置

锥形流量计CFD仿真的模型按图1所示的锥体结构绘制，首先以DN100口径，β=0.65的锥体选择合理的网格参数，包括：网格的数量、前后直管段长度，网格的类型。利用Gambit软件划分的三维网格模型，对锥体区域进行细分，消除具有尖锐边缘的区域，通过线网格使单元的尺寸从锥体区域向两侧逐渐增大。本次研究使用天津大学超算中心2个计算节点计算，计算资源共计64个CPU核心，256GB的RAM，经过分析此情况下网格数量600万时可兼顾计算精度和计算成本。本次仿真使用商业仿真软件Fluent13，仿真的雷诺数为6.97×10⁴～69.67×10⁴。在目前阶段，RNG-kε模型是进行锥形流量计仿真较为理想的湍流模型，因此它被用来进行此项研究。管壁使用标准壁面函数进行处理，粗糙度设置为2×10^-5，粗糙度常数为0.5，水温设置为293K。

3 本构方程与锥形流量计流出系数的联系

3.1 锥角变化在上下游压力上的反映

锥角的变化可能造成锥体上下游流场的变化，为选择受锥角影响较大的流场区域作为研究对象在此定义压力系数随锥角的变化率¶pcoff/¶θ，此参数越大表示该区域受锥角的影响更大。其中为压力系数，选择这一参量的有以下两点原因：

1）锥形流量计的入口雷诺数是一个范围而不是一个固定值；通过压力系数可实现利用入口速度对压力值的归一化以消除入口雷诺数不同对压力的影响。

2）p_coff是联系锥形流量计流出系数和流场参量的桥梁；在测量不可压缩流体时，锥形流量计的流出系数计算公式（2）可化简为式（3）。其中p1为上游压力，p2为下游压力，A₀为仅与β值相关的常数。

    （3）

将上下游压力分别用上下游压力系数p1coff和p2coff代替，则式（3）可化简成式（4）所示形式。从式（4）可见，锥形流量计流出系数C直接受压力系数的影响。

    （4）

不同锥角组合锥形流量计的上下游压力系数及其随锥角的变化率如表1、2所示，表中的系数均通过仿真数据计算得出，入口雷诺数范围6.97×10⁴～69.67×10⁴。

表1 上下游压力系数随前锥角θ1的变化

表2 上下游压力系数随后锥角θ2的变化

数据显示的更大，这说明锥角的变化对下游取压位置处的压力场影响更大，可得到结论：在预测锥形流量计锥角组合的过程中应该选择锥形流量计下游的流场区域为研究对象。

3.2 锥形流量计下游压力及干扰

作用在流体上的力分为表面力和质量力2类。在封闭的管道中，流体所受的质量力仅为重力，对于水平管道中的流体，重力通常可以忽略。

如图2所示，作用于锥形流量计下游取压位置的压力p2就是一种表面力。p2除了有n向分量（法向分量）p2n外，还有面元上的切向分量p2τ。对于所有流体，表面力可通过如式（5）所示的本构方程计算得到。

P2=2μS+{－p+λdivv}I    （5）

式中：－p表示内部均匀、满足热力学平衡的流体微团所受的压力，即静压力。对于运动的真实流体，受到黏性力的影响，局部平衡状态下的静压力并不是真实存在的物理量，而仅是一个数学形式。μ为流体的动力黏度系数；λ为流体膨胀黏度系数，也称第二黏度系数，斯托克斯假设λ=－2μ/3；I为三阶单位矩阵；S为应变率张量，将在下面介绍。

图2 作用于锥体下游取压面的表面力

对于不可压缩流体，根据连续性方程可将式（5）化简为式（6）。静压力在法向平面上的分布均匀，而流体黏性力的存在会破坏流体静压的均匀分布状态；同时黏性力因锥角和入口雷诺数的变化造成的波动是无规律的，这导致压力分布规律受到干扰。压力随入口雷诺数无规律的变化会导致测量入口雷诺数范围内的锥形流量计流出系数线性度误差增大，所以流体的黏性力将对锥形流量计的下游压力产生干扰。

P=2μS－pI    （6）

综上可以得结论：锥形流量计的压力属于流体表面力的一种；对于具有黏性的不可压缩流体，流体的黏性力2μS是对流体下游压力的主要干扰项。

4 基于黏性应力比例因子的锥角优化

4.1 锥形流量计的性能评价指标

本次研究用锥形流量计流出系数线性度误差和重复性作为性能评价指标。线性度误差δl是衡量锥形流量计精度的重要参数，可通过式（7）计算得到：

    （7）

    （8）

式中：i为标定的不同流量点，i不小于5次；j为标定次数，1～3；C_dimax和Cd_imin分别表示i个标定的流量点对应流出系数的最大值和最小值。

锥形流量计流出系数的重复性Sc，代表同一个流量点多次测量所得流出系数的稳定程度，使用式（9）计算：

    （9）

式中：C_dj表示同一个流量点第j次测量的测得值；j为标定次数，1～3；表示对一个流量点进行j次测量的算数平均值。

4.2 黏性应力比例因子与流量计性能评价指标的联系

由于3.2节的分析可知，黏性力2μS是压力的干扰项，因μ仅与流体介质相关，所以应变率张量S是引起干扰的主要原因，它来自质点速度各个方向上导数组成矩阵的分解，如式（10）所示：

    （10）

式中：

为应变率张量矩阵，

 为旋转张量矩阵。

基于流体黏性干扰2μS，定义黏性应力的比例因子k1和k2，其数学表达式如式（11）和式（12）所示。

    （11）

    （12）

比例因子k1是流体的黏性力与静压的比值，此值越大表示黏性力产生的干扰越大；比例因子k2即应变率张量S的模与旋转张量A模的比值，因为应变率张量更多的转化为黏性应力的干扰，k2越大说明流体质点的运动更多的转化为对锥形流量计压力的干扰。

前锥角θ1为15°～90°，后锥角θ2为90°的锥形流量计对应的参数k1随入口雷诺数变化曲线如图3所示，随着入口雷诺数升高锥形流量计的黏性应力影响逐渐减小，同时差压变送器在测量小的差压信号时更容易受到黏性力扰动的影响。因此，低入口雷诺数下锥形流量计的流出系数受到流体黏性力的影响更大，根据式（9）可知，锥形流量计的流出系数在低雷诺数下的重复性较差；线性度误差主要由低雷诺数下的流出系数与其他流出系数具有较大差异引起，如图4所示。

图3 k1随入口雷诺数的变化

图4 不同入口雷诺数锥形流量计的流出系数（DN100，β=0.5）

综上所述，对任一锥角组合的锥形流量计，其下游取压位置处的比例因子k1和k2值越大，那么此锥角组合对应的下游干扰越大；锥形流量计的性能参数上表示为低入口雷诺数下，流出系数重复性差，在整个测量范围内具有较大的线性度误差。所以可以通过k1和k2的大小预测不同锥角组合的性能参数。

4.3 前锥角的优化

通过4.2节可知，低入口雷诺数状态下的锥形流量计流出系数的重复性较差，并且此状态下的流出系数值是影响整个测量范围内流出系数线性度的主要因素。以DN100口径，β值为0.65的锥形流量计为研究对象。固定θ2=90°，计算前锥角θ1在15°～90°变化时入口雷诺数为6.97×10⁴对应的黏性应力比例因子k1和k2，以此预测不同锥角组合锥形流量计的性能参数。

锥形流量计黏性应力的比例因子k1和k2随前锥角的变化规律如图5所示，图中纵坐标分别表示k1和k2的值，横坐标表示不同的前锥角θ1角度值。

图5 黏性应力比例因子随θ1的变化规律

仿真结果显示DN100口径，β=0.65的锥形流量计，当前锥角θ1为15°～90°，后锥角θ2=90°时，θ1=27.5°对应的下游取压位置处的k1和k2值最小。根据k1，k2与δl，SC的对应关系预测：前锥角为27.5°的锥形流量计的下游压力p2受到其他方面的表面力的干扰最小。

通过以上分析可以得到结论：DN100口径，β=0.65的锥形流量计，当前锥角θ1=27.5°时，锥形流量计入口雷诺数6.97×10⁴对应的流出系数重复性较好；入口雷诺数在6.97×10⁴～69.67×10⁴时，具有较好的线性度误差。

4.4 后锥角的优化

固定前锥角为27.5°，利用CFD仿真的方法得到后锥角在15°～90°范围内的多个锥形流量计的仿真数据。同样选择入口雷诺数为6.97×10⁴时具有不同后锥角的锥形流量计的仿真数据，计算得到后锥角为15°～90°时下游取压位置处黏性应力比例因子k1和k2。

不同后锥角锥形流量计在入口雷诺数为6.97×10⁴时对应的黏性比例因子k1和k2的变化规律如图6所示，图中横纵坐标的意义与图5相同。

图6 黏性应力比例因子随θ2的变化规律

β=0.65，前锥角为27.5°的锥形流量计，65°的后锥角对应的下游取压位置处黏性应力比例因子k1和k2值最小。根据对应关系预测，后锥角为65°的锥形流量计的下游压力p2受到其他方面的表面力的干扰最小。

4.5 其他β值的锥角优化结果

按照4.3节和4.4节的思路选取DN100口径，β值分别为0.45、0.5、0.6和0.75的4个锥形流量计对应的前后锥角组合如表3所示。

表3 DN100口径其他β值的前后锥角选择结果

5 锥角优化的实验验证

锥形流量计检定步骤及注意事项符合锥形流量计中国国家标准的检定要求。

5.1 水流量标准实验装置

本次实验验证利用天津大学流量实验室的液体流量标准装置（如图7）完成。该装置使用称重法检定，其不确定度为0.05%，流量稳定性0.1%，流量范围5L/h～300m³/h。选用横河EJA110A差压变送器进行差压测量，满量程不确定度0.075%。

图7 天津大学液体流量实验标准装置

5.2 用于实验验证的锥形流量计

为方便实验，实验使用可自由组合的锥体组件，如图8所示。利用机加工多个具有不同前后锥角组合的锥体，锥体与流量计管体的悬臂梁通过螺纹连接。

图8 用于实验的锥形流量计

6 实验结果分析

6.1 低雷诺数不同锥角锥形流量计流出系数重复性

徐英等人以V-Cone结构的锥形流量计为研究对象，得到前锥角22.5°后锥角60°的锥角组合具有较好的线性度误差。有必要将此锥角组合与本次的研究成果进行实验比对，对应的是表4中序号为1、4、7的锥角组合。在比对过程中同样选择一个锥形流量计制造商常用的锥角组合作为对比项，对应的是表4中序号为2、5、8的锥角组合。选择满足差压变送器精度的限制最小差压值对应的入口雷诺数作为锥形流量计实验验证的下限值，实验测试结果如表4所示。

表4 不同锥角组合锥形流量计流出系数的重复性

实验数据显示在低雷诺数下，基于黏性比例因子预测得到的锥角组合的锥形流量计比其他锥角组合具有更小的重复性误差。

6.2 流出系数及其线性度误差

表4中的锥形流量计流出系数随入口雷诺数的变化规律如图9所示，数据显示，β为0.45、0.5和0.65的锥形流量计，具有最小流出系数线性度误差的锥角组合分别是：θ1=25°，θ2=70°；θ1=25°，θ2=67.5°和θ1=25°，θ2=65°。本次研究提出一套系统的、高效的优化锥角的方法，而不仅局限于对几个特定的锥角组合的优化。基于黏性比例因子的锥角组合优化的方法解决了锥角组合无限多的难题。实验结果显示，与现有的常用的锥角组合及徐英等人优化得到的前锥角22.5°，后锥角60°的锥角组合相比，基于黏性比例因子优化得到的锥角组合对应的流出系数线性度误差最小。

实验结果也证实了以下两点结论：

1）在整个测量范围内，低雷诺数时流出系数与均值的差距过大是造成锥形流量计流出系数的线性度误差较大的原因。

2）与传统的锥角研究成果相比，基于黏性比例因子的锥形流量计锥角预测的锥角组合具有更小的线性度误差。

图9 不同锥角的锥形流量计流出系数线性度的实验结果

7 结论

本研究分析了上下游取压位置处压力系数随锥角的变化率的大小，得到下游取压位置处的黏性应力随锥角组合变化出现的无规律的波动是造成锥形流量计流出系数改变主要原因。根据流体力学的本构方程定义了黏性应力比例因子k1和k2，在锥形流量计下游取压位置处k1和k2越大，锥形流量计的流出系数重复性和线性度误差越差。

本研究通过比较不同锥角组合对应的黏性比例因子k1和k2，得到了β值0.45～0.75的锥形流量计锥角优化结果θ1=27.5°±2.5°，后锥角θ2=65°±5°。实验数据证明了基于黏性比例因子锥角优化结果的准确性。

基于黏性比例因子锥角优化方法可用于其他结构的锥形流量计，如长腰结构、Wafer结构和插入结构锥形流量计锥角组合的分析，提升锥角组合分析的准确性、效率和普适性。

基于黏性比例因子锥角优化方法为制定ISO5167-5锥形流量计国际标准提供了一种规定锥角组合的思路，同时提供了实验数据，有利于整个锥形流量计行业的发展。